协同过滤（Collaborative Filtering）是推荐系统中最经典的算法之一。其核心思想是通过分析用户的历史行为，发现用户之间的相似性或物品之间的相似性，从而进行推荐。

基于用户的协同过滤

基于用户的协同过滤（User-based CF）基本流程如下：

相似度计算

常用的相似度计算方法有：

• 余弦相似度：$\cos(\theta) = \frac{A \cdot B}{\|A\|\|B\|}$
• 皮尔逊相关系数：$r = \frac{\sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum(x_i - \bar{x})^2}\sqrt{\sum(y_i - \bar{y})^2}}$
• Jaccard 相似度：$J(A,B) = \frac{|A \cap B|}{|A \cup B|}$

基于物品的协同过滤

基于物品的协同过滤（Item-based CF）与基于用户的协同过滤类似，但计算的是物品之间的相似度。

import numpy as np
from sklearn.metrics.pairwise import cosine_similarity
def item_cf(user_item_matrix):
    """
    基于物品的协同过滤
    Args:
        user_item_matrix: 用户-物品矩阵 (n_users, n_items)
    Returns:
        item_similarity: 物品相似度矩阵
    """
    # 计算物品之间的余弦相似度
    item_similarity = cosine_similarity(user_item_matrix.T)
    return item_similarity
示例
ratings = np.array([
    [5, 3, 0, 1],
    [4, 0, 0, 1],
    [1, 1, 0, 5],
    [1, 0, 0, 4],
    [0, 1, 5, 4]
])
similarity = item_cf(ratings)
print("物品相似度矩阵:")
print(similarity)

协同过滤的优缺点

优点

• 不需要理解物品本身的特性
• 能够发现意想不到的推荐结果
• 算法简单，易于实现

缺点

• 冷启动问题：新用户或新物品无法得到推荐
• 稀疏性问题：用户-物品矩阵通常非常稀疏
• 流行度偏差：倾向于推荐热门物品

实践建议

在实际应用中，建议结合以下策略：